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電荷保存則の導出

1

ここでは、
アンペール・マックスウェルの法則

- $\huge rot\vec{H}(\vec{x},t)-\frac{\partial \vec{D}(\vec{x},t)}{\partial t}=\vec{i}_{e}(\vec{x},t)$

から、電荷保存則

- $\huge \frac{\partial}{\partial t}\rho_{e}(\vec{x},t)+div \vec{i}_{e}(\vec{x},t)=0$

を導出する。

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電場と電束密度の関係

6

- 時刻 $t$ 、位置 $\vec{x}$ の電場を $\vec{E}(\vec{x},t)$ と表現する。
- 時刻 $t$ 、位置 $\vec{x}$ の電束密度を $\vec{D}(\vec{x},t)$ と表現する。
- 誘電率を $\epsilon$ とする。
式
- $\huge \vec{D}(\vec{x},t)=\epsilon\vec{E}(\vec{x},t)$

磁場と磁束密度の関係

5

変数
- 時刻 $t$ 、位置 $\vec{x}$ の磁場を $\vec{B}(\vec{x},t)$ と表現する。
- 時刻 $t$ 、位置 $\vec{x}$ の磁束密度を $\vec{H}(\vec{x},t)$ と表現する。
- 透磁率を $\mu$ とする。
式
- $\huge \vec{B}(\vec{x},t)=\mu\vec{H}(\vec{x},t)$

参考文献

参考文献

電磁気学演習 (物理テキストシリーズ 5)　砂川重信

アンペール・マックスウェルの法則

4

変数
- 時刻 $t$ 、位置 $\vec{x}$ の電束密度を $\vec{D}(\vec{x},t)$ と表現する。
- 時刻 $t$ 、位置 $\vec{x}$ の磁束密度を $\vec{H}(\vec{x},t)$ と表現する。
- 時刻 $t$ 、位置 $\vec{x}$ の物質内を流れる電流密度を $\vec{i}_{e}(\vec{x},t)$ と表現する。
式
- $\huge rot\vec{H}(\vec{x},t)-\frac{\partial \vec{D}(\vec{x},t)}{\partial t}=\vec{i}_{e}(\vec{x},t)$
解説
- $rot\vec{H}(\vec{x},t)=\vec{i}_{e}(\vec{x},t)$ は、磁束密度の発散と電流密度が等しいことを示す。これは、定常電流によって磁場が作られる事を示す。 $\frac{\partial \vec{D}(\vec{x},t)}{\partial t}$ は変位電流である。変位電流は、電荷保存則と矛盾しないために導入される。

電場に関するガウスの法則

3

変数
- 時刻 $t$ 、位置 $\vec{x}$ の電束密度を $\vec{D}(\vec{x},t)$ と表現する。
- 時刻 $t$ 、位置 $\vec{x}$ の真電荷の電荷密度を $\rho_{e}(\vec{x},t)$ と表現する。
式
- $\huge div \vec{D}(\vec{x},t)=\rho_{e}(\vec{x},t)$
解説
- 電束密度 $\vec{D}$ の発散(ダイバージェンス)は $\rho_{e}$ である。これは、任意の体積がVの空間で、電束密度 $\vec{D}(\vec{x},t)$ を面積分した値は、空間内に存在する総電荷 $\rho$ と等しい事を示す。

ファラデーの電磁誘導の法則

2

変数
- 時刻 $t$ 、位置 $\vec{x}$ の磁場を $\vec{B}(\vec{x},t)$ と表現する。
- 時刻 $t$ 、位置 $\vec{x}$ の電場を $\vec{E}(\vec{x},t)$ と表現する。
式
- $\huge rot\vec{E}(\vec{x},t)+\frac{\partial \vec{B}(\vec{x},t)}{\partial t}=0$
解説
- 磁場の $\vec{B}$ の時間変化は、電場 $rot\vec{E}(\vec{x},t)$ の回転(ローテーション)の符号を逆にしたものと等しい。これは、磁場が変化した時、その磁場の変化を打ち消すように電場が作られることを示す。