電荷保存則の導出

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ここでは、
アンペール・マックスウェルの法則

    • \huge rot\vec{H}(\vec{x},t)-\frac{\partial \vec{D}(\vec{x},t)}{\partial t}=\vec{i}_{e}(\vec{x},t)

から、電荷保存則

    • \huge \frac{\partial}{\partial t}\rho_{e}(\vec{x},t)+div \vec{i}_{e}(\vec{x},t)=0

を導出する。


1. 　アンペール・マックスウェルの式の両辺の発散を取る。

    • \huge div rot\vec{H}(\vec{x},t)-\frac{\partial}{\partial t}div \vec{D}(\vec{x},t)=div \vec{i}_{e}(\vec{x},t)

　
2.　左辺の第1項は0になる。

    • \huge -\frac{\partial}{\partial t}div \vec{D}(\vec{x},t)=div \vec{i}_{e}(\vec{x},t)

　
3.　左辺の第1項に、電場に関するガウスの法則を代入する。ここから、電束密度の\vec{D}(\vec{x},t)微分が電荷密度に置き換わる。
　

    • \huge -\frac{\partial}{\partial t}\rho_{e}(\vec{x},t)=div \vec{i}_{e}(\vec{x},t)

　
4.右辺第一項を左辺に移項し、マイナスを掛ける。

    • \huge \frac{\partial}{\partial t}\rho_{e}(\vec{x},t)+div \vec{i}_{e}(\vec{x},t)=0